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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 z+~DvP  
`fCYrbEs  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 8LU=&Lj`u  
H0LK&bN  
　　1、三角函数本质： c^4[|&+?"  
uQE,<7;w  
　　三角函数的本质来源于定义 ,GNjo5[6F  
9MHvB\D~  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 fNV[kwA  
uW&>>t38  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 P5Fy'\|q  
&WP.^t.  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： cQ]<tkn  
E6AywO?7  
　　推导： TFx7`q:e  
W~$>o  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ~-/:60fK  
- Q,CG/_  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) _#bmrU n  
!_&+4vsS  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) R"! o`Vo  
C\Qt3*22  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 aZ[irl3  
Cad.*}4"$  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） j[|kJ+  
\u1TA<L5a  
　　[1] =U ?Uc"'yB  
e\Ca0B7  
　　两角和公式 P(cv"q8  
w ->@>`vvd  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB F{[U)(Qb  
L8?%g%(g  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Ak;y}t gY  
7uqt%"P h  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB oRB\n|c  
^NnA UOw  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB gVzmp{  
jK TH]%  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) apua$>#\'  
4<o \huC~  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) !7Cd=hI];  
{5~Gl--c  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  {u> Xi4~Q{  
qacXUj>X  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) rMGdJ!*  
+B`!VRe  
倍角公式 [K= }( l  
Y&oX-dO\  
　　Sin2A=2SinA•CosA jjAuF]  
0B/if"j  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 uEUW)6p]C%  
^!B#X]   
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） b>Pa4K  
S)   
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ^$KqXM #  
McWP=45\  
三倍角公式 r0J_gYee  
~&Y~GLJk  
　　 a. k>Tr)  
@W I   
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) :j@Nf#P  
9C&4m*-g  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) uQ+FgL  
)b?wiAC  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) #MhB0XR-e  
@|T7x>'u  
三倍角公式推导 1TAA$%A  
{y._Zy7  
　　sin3a {kJ+x^  
k[a9_`R8o  
　　=sin(2a+a) sK]->MZNr  
Ur%aF_Oa  
　　=sin2acosa+cos2asina SwI-_JE:  
'7q2wJT5  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina d+J\\v\'  
'3o"$bG  
　　=3sina-4sin³a l/|humx  
bhf!Y>  
　　cos3a t1b :T;  
L>eQ'>3  
　　=cos(2a+a) ]e x)3W?6  
4u=N[U  
　　=cos2acosa-sin2asina 4D/(Og'Dn  
1*_, 5Z+P*  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa UBwZ5S(L  
8k-)7j/ e  
　　=4cos³a-3cosa 9c:v}>:G  
&I L5w iC  
　　sin3a=3sina-4sin³a a<]v%A  
f$rhd \  
　　=4sina(3/4-sin²a) K2s?#8H  
ySapf&:=  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] zNs}V:lDB  
j] \R&~  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) @nIYHG  
(_nS&5~  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) & FYR6$5  
Tar{f[qR  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] iXhe96>  
.u<O=-?wZ  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) mEr'$TV'  
ttwE{zZ  
　　cos3a=4cos³a-3cosa z}NWJZ   
HAd kj<e  
　　=4cosa(cos²a-3/4) M U>ik,  
_MO@n $  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] )Yh_#Z |e  
}d,^2D/\u  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°)  6H!v2R5  
*M8%j;  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) >:f[AjP-#q  
V3t {l  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} n @OL7R5  
`zj@$,`#  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) icyK:Jo;  
Xg+'_WU  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 6[aThaL  
\0i2-  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] %b5* U  
5r#RVIPa  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) EVLs7ff~O8  
% ^H3  
　　上述两式相比可得 D%1`%? Np  
*% ft'I  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) a8S(N^~  
7.@.[&7U  
半角公式 Z .Yj"n]E  
Cq{.pMlR  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 2@&'n[F}d  
NdyRx!FRW  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. /Y0 \NX=S  
%vAi~ab?  
和差化积 v ytR)K  
~ h!  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] tTIVddk_  
k E)hHp  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 8Cu5XlI7  
gS. vj)j  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ~-kTD5=\  
jJkm}^\K  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] "_sLyP o  
-'v|7t:  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) +8*r)T/|  
R<Ad)iCT'n  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) SV~f ]qy  
cHTY-!V  
积化和差 v, Sz'@E^  
%rRl{(`  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] uGdIFhpd,(  
]3yVWDS0I  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ~mMmRQUZ  
IG(,"rcEX  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] UUaI~]A  
~eFC*T~  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] tjQ`20sxF  
OtJ<* ([^  
诱导公式 UV3a 27m  
m9%z=b9uv  
　　sin(-α) = -sinα fMJw(6{g:  
7W"s3?tg  
　　cos(-α) = cosα cS:)76of  
slIHw5*zT  
　　sin(π/2-α) = cosα bp<3YQ$tZ  
GeJ~en  
　　cos(π/2-α) = sinα 6 g[` G  
1zPF fTA  
　　sin(π/2+α) = cosα i?*~p?0!  
gfe`DqJ?&  
　　cos(π/2+α) = -sinα O,|%K  
8j@. %)!  
　　sin(π-α) = sinα WHE4Y"mo  
oOa!=sZ  
　　cos(π-α) = -cosα n[5/4.'Slu  
yi t @(  
　　sin(π+α) = -sinα 4so3{mHa/  
Il=(}| V  
　　cos(π+α) = -cosα `RHGA^eb  
[2?Zdw5  
　　tanA= sinA/cosA f|'%,qGV'-  
"k}G>]>  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα nn3%.pNx  
k*I]DqKVX1  
　　tan（π/2－α）＝cotα ,|tCXWQ2+  
9 .O6  
　　tan（π－α）＝－tanα 3_#VP+B  
)sv^*~"H  
　　tan（π＋α）＝tanα {aw #M  
x$B3UxnO-!  
万能公式 _8Pt<T&oK  
{9Qe6iNcp  
　　 _ =4{#0A  
sT4WM Vm$  
其它公式 H31&~ I  
3;"d^#UW  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 'F-1$1{U+"  
G_C5i1HBo  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 t[yi3y^  
|Ut_q{5  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 c3 3\Xbw  
B$^ZS")He  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 SJ M5~  
^HU'`#g|  
　　对于任意非直角三角形,总有 M<oonv{  
sbr~]jw  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7iuC7`!  
yy#_G<R<G2  
　　证: u_yI`^3u  
n7]Tpsq>  
　　A+B=π-C SDH|DBlhka  
<?&Ud5b  
　　tan(A+B)=tan(π-C) B_e~_3>  
QO nR y2  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) yNvxY_!"  
RN!0 {~  
　　整理可得 X$]=_Lj^>y  
|k?t=:  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _J<$s|@  
/{ 11tp8a  
　　得证 %y"r^9~D|  
6Z+6_c%]W  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 @9;uLnx]  
't&xL~FT{P  
其他非重点三角函数 j^;wf{ovA  
3v IxPn%a  
　　csc(a) = 1/sin(a) u!CQ I< 6  
^Fkzvyt?i  
　　sec(a) = 1/cos(a) wa?k|J;  
g+cY%:[i  
　　 #w'2QnL  
aWB $+GK  
双曲函数 $FRro)Xl}  
w*9=2k Q  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 x,YG<z4TS  
Vy,\x6| Zk  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 xt.?#Y=#m  
0J]ix(>JP  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) _|b!n,6  
ot]l\uH>  
　　公式一： 'o{E5\  
D}?hsO r  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： !f!t vJ  
+lkg>,} 2  
　　sin（2kπ＋α）= sinα @So_+i  
=G Sq0$T  
　　cos（2kπ＋α）= cosα qGwQQcc38W  
N3o Ebj  
　　tan（kπ＋α）= tanα <f4xMkS  
2jg\i+U  
　　cot（kπ＋α）= cotα jn6_0gm=Xn  
I'Zdc/a  
　　公式二： X=L KKFv$  
2tY6):1;  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： #] _:)*  
{Jh$e/-  
　　sin（π＋α）= -sinα eq*t:Z  
7m&"H(3(@  
　　cos（π＋α）= -cosα ~r-oe)l?xR  
ImJKj ceQI  
　　tan（π＋α）= tanα YY-}; 27&  
wJ(PkGxnf  
　　cot（π＋α）= cotα $ z.$Q@  
rYFCX b_g  
　　公式三： Ju3 v]i6N  
O x`s#A  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：  J(zRU  
+ oQ^psJ  
　　sin（-α）= -sinα '<yUoGd^AG  
(zwP[LK  
　　cos（-α）= cosα :y./;G  
4Vw`4Kz  
　　tan（-α）= -tanα An:3[]=B  
O*H o.7  
　　cot（-α）= -cotα  9 r#H[  
9L mc fa  
　　公式四： h1$u H  
3nhoSm?  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 2lLW+ \1m  
mF@t8}n`  
　　sin（π-α）= sinα , JWP9  
J#KwJ4x   
　　cos（π-α）= -cosα $SS@>C2  
:Ll{45nv  
　　tan（π-α）= -tanα X@n0Hbt  
17ES8<u  
　　cot（π-α）= -cotα [f6(i%1Y[  
&K[ D /  
　　公式五： (,CGX1(.(x  
zIU?K{  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： :nGQSY  
3'f.mK6  
　　sin（2π-α）= -sinα #|1Nk_B<^  
3;WT "1O{  
　　cos（2π-α）= cosα _@{x3:Eb  
8G>Oqi7{  
　　tan（2π-α）= -tanα h9AkuCZ$  
Z19(Tjr  
　　cot（2π-α）= -cotα PV']J$&a9  
F7kJErWN  
　　公式六： #m1rgg'Z  
2knk):QWY  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ; hABPFfL  
Y #@,0Y=u  
　　sin（π/2+α）= cosα uU 95pz  
U6Z{/t)^!  
　　cos（π/2+α）= -sinα `3w|E+Y8D  
n+e%.M:%ra  
　　tan（π/2+α）= -cotα xk4wtFia@4  
_z}*HT'> v  
　　cot（π/2+α）= -tanα 8 '%Cz`-K  
Lc$Exg =  
　　sin（π/2-α）= cosα Qc+#W,R  
thGu7@*  
　　cos（π/2-α）= sinα OO^q__=  
 N ^v+  
　　tan（π/2-α）= cotα gb )UAD4?1  
b;Bj3/  
　　cot（π/2-α）= tanα d7?DA\",  
nH1]{  
　　sin（3π/2+α）= -cosα e']ZTEJ  
B!UR;'cQ  
　　cos（3π/2+α）= sinα i|_)dn0L[  
~R;zT=(  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Sy ) H  
Ad3nB`  
　　cot（3π/2+α）= -tanα dmS8n0?  
Kmn6`=Q}7  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 5LC<<O*K*  
+q'ha*1x9  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Tv"6x td  
=GH`lnOd  
　　tan（3π/2-α）= cotα ~"u#Jd  
) 92J"  
　　cot（3π/2-α）= tanα wz4U-m  
!BH:;  
　　(以上k∈Z) }"@Y oPw  
TP|Qqi>  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 gvrE;xg  
;n/_vl `+  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Tz<1mS/g  
W=_L;~d  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } $wYT l @  
1%&^xY I  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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