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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 iR+NfP&4P  
;0jGv#  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. tGhXcKby  
M<xn^enz  
　　1、三角函数本质： \.p~1H q  
xDLt:@ ?  
　　三角函数的本质来源于定义 Lr?gf;u  
 Nm^{T+  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 v#.X 9yk  
X7E -+ =E  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 7dx1V.V{D$  
-ATz  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 8f:vonr6  
v%qzEf  
　　推导： ^ #~HsA  
Rq[g:1 &  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 F;>Id"e&3  
,g("'3&  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) }T&!J'9X  
=-`\k ( w  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) >G, U  
; SJQC|5  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 W&K3}j  
Uk:I'=8C>  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） |elq@6T  
[#I%Z~cU|%  
　　[1] B<7m}  
q]l `D1iY  
　　两角和公式 y\eZa.cC  
Z)yREzi9x  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB QQij )Fz  
^i~d"Kmy  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  NmI w\#  
DjM28TsJZ  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ^"@JTo{0  
_pf+AB  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB &z]Ju[z\  
x;fJ e_m  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 2Z" oZuF2  
8:<m(}  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ?U #0DpN  
 FiVYx]>  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  uZoN1y?J-  
[w!_> Eib  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) nlD%qd^v  
`gSN1he  
倍角公式 &dAw<#xf-  
VFcvA=V  
　　Sin2A=2SinA•CosA ]vPUau6  
>;N)!h8  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 HG.:39+M  
Q:'[I\Hi  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 5U`yQX|YT  
]-   
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） G:z:s_  
HS0&`Xf*  
三倍角公式 | */ZGj[r  
e}"2:}#]kR  
　　 UtgY@ q  
:SBO:U{  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ]eTO"_?Jb  
e`"_b  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) DoS66  
7y=*{6:zP  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) T'LaVYU  
%-I6c-|B  
三倍角公式推导 5mb-zo qE  
*vXuke_E>  
　　sin3a YE~|#p  
zWs=8C%  
　　=sin(2a+a) 1K8}*5kN  
#S,THXl  
　　=sin2acosa+cos2asina u>]a7}if  
@ , 8*};y  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina BR/_ [,g_  
6c1Y %K.7  
　　=3sina-4sin³a 69:$66lA  
r~.%_Y^  
　　cos3a LAMiD5DXy  
K-lbVY 6  
　　=cos(2a+a) m*CLBl f  
S+uQ3TV.{  
　　=cos2acosa-sin2asina %2!2f d5  
~e]?Gksf  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa x]:bZwZD  
<X>%VL   
　　=4cos³a-3cosa [t*lv'l  
!~1$b  
　　sin3a=3sina-4sin³a f!"$8 :+  
9&<sk^k  
　　=4sina(3/4-sin²a) >.M %WI#  
~r_QR/.>V  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Z1W+ T  
27T   
　　=4sina(sin²60°-sin²a) LU[7V/A  
}PDQ^5;*  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) sWh?mZ8>  
aH>-/Eu3  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ?EDDKTs"  
X41<Eh-%~  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ,rZ& k y[  
H8F6bs|  
　　cos3a=4cos³a-3cosa `(/{IsgM  
'a59DOh  
　　=4cosa(cos²a-3/4) /PQr9jT1  
0mmWf   
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] r+IpP5Y  
wA}LJpfX<  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) $'Qn(  
LlI(n`  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) <O9M%ub  
mN)7uWd  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} {TpvT ([t  
8_`]`l  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Y6^de *6  
D ]*-w_  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] kMV:4Z}R  
X^\jM<R  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] hvjd*5;  
Z-\]^B{[  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) br[E?4  
cvXo{nk9H  
　　上述两式相比可得 {*ce,  
Wm!2MKXzN  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ``#B{A76  
%H+$:[)W  
半角公式 /*I64@*V  
\(uE 7?  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ((aZR\e#>  
J+"CGrjcL  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 5yeJ$7R  
/{R*lW( t  
和差化积 \ug7`>GX  
,7Kex<N:+  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 5e3~U7&*  
`[T('82  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Ed"X-4LY  
\_9!q@:l4  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 40%+X hHyl  
TkH%$}cf  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Kn7u_B&%"  
9LJm=O>q  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) M5IC/8n@  
w`BEQlnt+  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ~ |/<MQ  
"W$R_UI]  
积化和差 -9F4$,\+  
TQuS;JR  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] -<~m{,|T  
tAvC@?cD  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 81j FQ  
qf7.&Y   
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] U#K0o q  
_DWGl  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ?%k'u/W  
V> BMI@dm  
诱导公式 Ju!$q]'"  
@bwx:  
　　sin(-α) = -sinα Q uN(( 8R  
O(iKD4!  
　　cos(-α) = cosα [K}Up7  
DADIfss  
　　sin(π/2-α) = cosα GW~yB[a]  
8PIU\&+9  
　　cos(π/2-α) = sinα kdM!H0cIu  
E O,&n?Q6  
　　sin(π/2+α) = cosα omEf.+8_  
~VQxVN[  
　　cos(π/2+α) = -sinα "HVe>wbs-  
O7l#e^cPG  
　　sin(π-α) = sinα V5CK~YG  
m/ ~!F(  
　　cos(π-α) = -cosα (Z] Nu  
3A."SQ@e  
　　sin(π+α) = -sinα q|Qx]n_7uI  
"A rmtXp  
　　cos(π+α) = -cosα CoQP.y%:j  
e))#pXuRdx  
　　tanA= sinA/cosA |3zM,Wl  
\@h#0MNj  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα LjSA^B%3  
=stot@0  
　　tan（π/2－α）＝cotα ^K{YE5Fs  
v6:L=Q_vA@  
　　tan（π－α）＝－tanα ,I:S5"!  
9#=- uT^  
　　tan（π＋α）＝tanα q/OL1L  
:|3 P}o  
万能公式 f*bGhK 3S  
l%My@Hwk  
　　 <x}P1WO  
ENgWn%-1-  
其它公式 S7 :PGE  
tLR0G ]qf  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 gQiZTbp)'  
!K4-DP}  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 w>{jJ i  
xZ) qvGR4  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 GP!]wv!  
X2/$e<^f  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 &)jHo}/N  
_VR3f  
　　对于任意非直角三角形,总有 ;d]_i__Xa  
~7 B"p  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC d_-bwsQ$  
~s:EuO  
　　证: I>7O~]V  
*w|A)9}u  
　　A+B=π-C o pBdn5  
o9$4 v  
　　tan(A+B)=tan(π-C) |tW2n~  
G`esl~=]  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) NR i XB G  
V.O2 ,Q+T4  
　　整理可得 qadQP{S7n  
=ne&bd sH  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC /E)/@I{s  
6EcY 3V)  
　　得证 *=MOE  
XY].srPc8  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Z b~ cg~  
HKr,zZ9%  
其他非重点三角函数 0MK{B_t  
``S\ }m  
　　csc(a) = 1/sin(a) %?| O= r|  
& yNf5J  
　　sec(a) = 1/cos(a) S~Fm/c q4  
\!$Z#|]O  
　　 Tv> IY&~`m  
M(P&L3r  
双曲函数 Ya"> nIb  
wTx2<{5V  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 }DQLd  
}u2c++q  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tj}s<C o  
\A&WS W \4  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) J mI.jY4c  
r R}-.  
　　公式一： ]\)cP2o  
6<\0;gyFW  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： LB J"Y([  
sBM{R`u+  
　　sin（2kπ＋α）= sinα nljDfi`b|  
<aSXw5z  
　　cos（2kπ＋α）= cosα =)n]go  
`*!7MZr  
　　tan（kπ＋α）= tanα _,;@(sjf  
;c4y) >  
　　cot（kπ＋α）= cotα 6rlF?T,>/  
W*U]k=  
　　公式二： 8DOL*mlS  
hg<PEUA  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Xno^_RD!  
G~^ H  
　　sin（π＋α）= -sinα 5lNNPD   
n|xU6Fe,^  
　　cos（π＋α）= -cosα #wkU,  
Z)aWiC&#  
　　tan（π＋α）= tanα bOEHc.^"E  
tg}T=|.  
　　cot（π＋α）= cotα D? 9xFB  
R\p@R}4Ol  
　　公式三： CJ0mMK]v  
ht@Idgr  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： =&F7Q#x=.  
=DB@@,wSw  
　　sin（-α）= -sinα dM52:MXS*  
u =rdh<np  
　　cos（-α）= cosα rA UDj]  
>-@7!H]  
　　tan（-α）= -tanα -g>]?,J  
J$4KB\= 8  
　　cot（-α）= -cotα woN':79  
L{*&c c@  
　　公式四： 3Gk{_  
YE&/w-9m  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： #P`e&Qs  
5h F  
　　sin（π-α）= sinα RP,a9WRT9  
/_1 f'  
　　cos（π-α）= -cosα `s,5yw  
;SW y5=iN  
　　tan（π-α）= -tanα W=<2]'zi  
HOgo B1  
　　cot（π-α）= -cotα |F#2n46r)C  
.e9I\M#b  
　　公式五： Rzvu.Be  
kE'^3'{e-  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： a=l Z HhE?  
Ih eL+Q  
　　sin（2π-α）= -sinα Pod{YA  
~Y Eij <  
　　cos（2π-α）= cosα *dETp [MP  
Hd|ThBmI#-  
　　tan（2π-α）= -tanα f~WJ~ +,f  
76?b@D&ZX  
　　cot（2π-α）= -cotα 3<roxX]6  
0>/#[<` t  
　　公式六： bX(I G  
`gifsAkOQQ  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： t*Ryv\a\$  
 6SfUfk[B  
　　sin（π/2+α）= cosα O O_>b  
P6 |7P  
　　cos（π/2+α）= -sinα ;cRse'f%  
Oufj -  
　　tan（π/2+α）= -cotα >fN>=}G7  
h7MWb;5]yW  
　　cot（π/2+α）= -tanα %2J:HYF%  
I`H D  
　　sin（π/2-α）= cosα }[z(<I~  
>)1iPMeN  
　　cos（π/2-α）= sinα br2!{a2  
UB5PCJ%U  
　　tan（π/2-α）= cotα e|qv.vTa+L  
^w`mW^Fpx  
　　cot（π/2-α）= tanα kp| c|4M  
l < !`'  
　　sin（3π/2+α）= -cosα oE Tloff  
NXVKB  
　　cos（3π/2+α）= sinα ^VvXU&h/[C  
9VhZ6J$l  
　　tan（3π/2+α）= -cotα  HR1IR  
+P+fI)|g  
　　cot（3π/2+α）= -tanα riy;@Mj  
!vt:R w^@  
　　sin（3π/2-α）= -cosα )mao|Ff  
,"tT1Zb  
　　cos（3π/2-α）= -sinα u-Ztk+ m  
<{=Y7#fXK  
　　tan（3π/2-α）= cotα Dy9J4AGB  
'2exf}  
　　cot（3π/2-α）= tanα }Ns&9}4>  
@U.#as*w  
　　(以上k∈Z) ]b>:'ky!Dg  
AMI;<`\ &Y  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 U;$r&o"vi  
R #=-1  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Xq`&Vb=X  
!4_1}"+D  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } PFGTf  
C#C8&\HV7  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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